Binomial Distribution Là Gì

  -  

Các vấn đề cơ bản cần chú ý khi học Reading 9 trong chương trình CFA level 1

1. Một số khái niệm cơ bản

1.1. Hai loại biến ngẫu nhiênBiến ngẫu nhiên rời rạc (discrete random variable): biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó (outcomes) tạo thành một tập hợp hữu hạn đếm được.

Bạn đang xem: Binomial distribution là gì

Ví dụ: số ngày mưa trong một tháng nhất định.Biến ngẫu nhiên liên tục (continuous random variable): biến ngẫu nhiên gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó (outcomes) tạo thành một tập hợp vô hạn không đếm được.Ví dụ: lợi nhuận của một danh mục đầu tư do nó có thể nhận bất kỳ giá trị số thực nào.1.2. Phân phối xác suất

Phân phối xác suất (Probability distribution) cho biết xác suất xảy ra của tất cả các giá trị có thể có (outcomes) của một phép thử.

1.3. Hàm xác suất và hàm phân phối

Hàm

Định nghĩa

Kí hiệu

Tính chất

Hàm xác suất

(Probability function)

Xác suất mà biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x

p(x) = P(X = x)

Hàm phân phối tích lũy

(Cumulative distribution function/Distribution function - cdf)

Xác suất mà biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằng x

F(X) = P(X ≤ x)

2. Biến ngẫu nhiên rời rạc

2.1. Phân phối đều rời rạc

Biến ngẫu nhiên phân phối đều rời rạc (Discrete uniform random variable) là biến ngẫu nhiên rời rạc mà xác suất nhận bất kỳ giá trị nào đều bằng nhau.

Ví dụ: p(1) = p(2) = p(3) = ... = p(n)

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên đều rời rạc là phân phối đều rời rạc (discrete uniform distribution).

Ví dụ: Hàm phân phối xác suất và hàm phân phối tích lũy của một biến ngẫu nhiên đều rời rạc: Cho biến X với 04 outcomes lần lượt là 1, 2, 3, 4 với xác suất bằng nhau và đều bằng 0.25:

X = x

Hàm xác suất

p(x) = P(X = x)

Hàm phân phối tích lũy

F(X) = P(X ≤ x)

1

0.25

0.25

2

0.25

0.50

3

0.25

0.75

4

0.25

1.00

2.2. Phân phối nhị thức (Binomial distribution)

2.2.1. Phép thử Bernoulli và biến ngẫu nhiên Bernoulli

Phép thử Bernoulli (Bernoulli trial) là phép thử ngẫu nhiên mà chỉ xảy ra một trong hai kết quả thành công hoặc thất bại, trong đó xác suất thành công là bằng nhau cho mỗi lần thử và bằng p.

2.2.2. Biến ngẫu nhiên nhị thức

Biến ngẫu nhiên nhị thức (Binomial random variable) chỉ số lần thành công trong n phép thử Bernoulli.

Giả định (1) xác suất thành công p không đổi với mọi phép thử và (2) n phép thử độc lập với nhau, X sẽ tuân theo phân phối Bernoulli với hai tham số, n và p: X ∼ B(n,p)

Khi đó:

Xác suất đạt x lần thành công trong n phép thử

Số phép thử thành công kỳ vọng trong n phép thử

Phương sai của biến ngẫu nhiên nhị thức X

3. Biến ngẫu nhiên liên tục

3.1. Phân phối đều liên tục

Phân phối đều liên tục (Continuous uniform distribution) là phân phối được xác định trên một phạm vi nhất định, được giới hạn hởi hai giá trị là a và b, trong đó a

Xác suất để biến nhận giá trị trong khoảng (x1,x2) (với (x1,x2) thuộc (a,b) là:

*
3.2. Phân phối chuẩn

3.2.1. Đặc điểm của phân phối chuẩn

*

Phân phối chuẩn (Normal distribution) xác định bởi hai tham số: giá trị trung bình µ và phương sai , ta có . Khi đó có thể phát biểu rằng "X phân phối chuẩn với giá trị trung bình µ và phương sai ".Phân phối chuẩn có độ lệch bằng 0 (đối xứng), độ nhọn bằng 3 và có hình chuông.Phân phối chuẩn đối xứng qua giá trị trung bình , do đó giá trị trung bình = số trung vị = số yếu vị (mean = median = mode).Tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn cũng tuân theo phân phối chuẩn. (ví dụ: x và y phân phối chuẩn, thì 2x + 3y cũng tuân theo phân phối chuẩn).Các giá trị có thể nhận được của X là toàn bộ giá trị trên trục số thực, hay - ∞

Phần đuôi của phân phối chuẩn dần tiệm cận 0 và kéo dài vô hạn về hai phía nhưng không bao giờ nhận giá trị 0, nghĩa là X nhận giá trị càng xa giá trị trung bình thì xác suất càng nhỏ nhưng không bao giờ bằng 0.

Xem thêm: Top 5 Phần Mềm Quản Lý Chi Tiêu Android, ‎Money Lover: Quản Lý Chi Tiêu Trên App Store

3.3. Phân phối chuẩn tắc

Phân phối chuẩn tắc (standard normal distribution) hay phân phối chuẩn đơn vị (unit normal distribution) là phân phối chuẩn có µ = 0 và σ = 1.

Công thức chuẩn hóa biến ngẫu nhiên:

Ứng dụng: Dùng bảng z-table để tìm xác suất P(X ≤ x)

3.4. Ứng dụng của phân phối chuẩn

Quy tắc an toàn là trên hết (Safety-first rule) tập trung vào rủi ro thâm hụt (shortfall risk) – xác suất mà giá trị hay lợi nhuận của một danh mục đầu tư giảm xuống dưới một mức giá trị hay lợi nhuận mục tiêu cụ thể - target value - trong một khoảng thời gian xác định.

Tiêu chí an toàn là trên hết của Roy (Roy’s safety-first criterion): danh mục đầu tư tối ưu là danh mục tối thiểu hóa xác suất mà lợi nhuận của danh mục - giảm xuống dưới mức ngưỡng (threshold level) - (mức thấp nhất có thể chấp nhận được). Danh mục đầu tư tối ưu là danh mục có giá trị SFRatio lớn nhất, với SFRatio được tính bởi công thức:

Ví dụ: Danh mục đầu tư nào dưới đây có SFRatio tối ưu nếu mức lợi nhuận thấp nhất có thể chấp nhận được là 6%.

Danh mục đầu tư

Lợi nhuận kỳ vọng (%)

Độ lệch chuẩn (%)

1

13

5

2

11

3

3

9

2

Giải:

Theo tiêu chí an toàn là trên hết của Roy, danh mục 2 là danh mục đầu tư tối ưu do có SFRatio lớn nhất (1.67 > 1.50 > 1.40).

3.5. Phân phối loga chuẩn

Hàm phân phối lognormal được tạo ra từ hàm e^x, trong đó x phân phối chuẩn. Vì logarit tự nhiên của e^x bằng x, nên ta có logarit của các biến phân phối loga chuẩn đều tuân theo phân phối chuẩn.

Phân phối loga chuẩn có độ lệch lớn hơn 0 (skewed to the right) và có giới hạn dưới tại điểm 0. Do đó, phân phối loga chuẩn được ứng dụng để xây dựng mô hình giá của tài sản vì giá luôn nhận giá trị không âm.

Ứng dụng:

4. Phương pháp giả lập Monte Carlo và giả lập dựa trên dữ liệu quá khứ

Phương pháp giả lập Monte Carlo

(Monte Carlo simulation)

Phương pháp giả lập dựa trên dữ liệu quá khứ

(Historical simulation)

Định nghĩa

Sử dụng máy tính để lặp đi lặp lại quá trình tạo ra một hoặc nhiều yếu tố rủi ro ảnh hưởng đến giá trị của chứng khoán, từ đó suy đoán về phân phối xác suất của giá trị chứng khoán.

Để tạo mô phỏng Monte Carlo, cần có giả định về các tham số và phân phối xác suất của yếu tố rủi ro.

Mô phỏng lấy mẫu từ thay đổi thực tế của các giá trị hoặc yếu tố rủi ro trong quá khứ

Ưu điểm

Linh hoạt, có thể thay đổi các giả thiết để trả lời câu hỏi “nếu-thì”

Sử dụng phân phối của các yếu tố rủi ro trong thực tế

Hạn chế

Phức tạpSử dụng giả định về phân phối xác suất của các yếu tố rủi roKết quả thu được là ước lượng dựa trên phương pháp thống kê, không phải kết quả chính xác.Không phải phương pháp phân tích và không thể kết luận về mối quan hệ nhân quả giữa các biến.

Xem thêm: Frm Là Gì - So Sánh Cfa Và Frm

Không thể trả lời được câu hỏi “nếu – thì”.Thay đổi trong quá khứ không phải lúc nào cũng là dấu hiệu tin cậy để dự báo về tương lai.Các yếu tố rủi ro xảy ra ngoài khoảng thời gian mà dữ liệu mô phỏng được lấy không được phản ánh trong mô phỏng.

Author: Thanh Thủy